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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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%\documentclass[a4paper,10pt]{scrartcl}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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\usepackage{amssymb}
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\usepackage{amsmath}
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\title{TD Option Info}
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\author{}
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\date{}
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\pdfinfo{%
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/Title (TD option info)
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/Author ()
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/Creator ()
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/Producer ()
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/Subject ()
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/Keywords ()
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}
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\begin{document}
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\maketitle
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\section{Systèmes de pièces}
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\subsection{}
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\section{}
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Montrons qu'on a $ x \geq M(x) $\\
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$M(x)$ est défini, alors il existe $k \in \mathbb{N}^m$ tel que $x = \sum_{i=1}^m k_i c_i$ avec $\sum_{i=1}^m k_i = M(x)$\\
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On sait que $\forall\text{ } 1\leq i\leq m, c_i >= 1$
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Donc $x = \sum_{i=0}^m k_i c_i \geq \sum_{i=0}^m k_i = M(x)$\\\\
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Montrons qu'on a $\lceil\frac{x}{c_1} \rceil \leq M(x)$\\
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Par définition $\lceil\frac{x}{c_1} \rceil \leq \frac{x}{c_1} + 1$\\
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Montrons qu'on a $\frac{x}{c_1} + 1 \leq M(x)$\\
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$M(x)$ est défini, alors il existe $k \in \mathbb{N}^m$ tel que $x = \sum_{i=1}^m k_i c_i$ avec $\sum_{i=1}^m k_i = M(x)$\\
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Ainsi, $\frac{x}{c_1} + 1 = \left( \sum_{i=1}^m \frac{k_i c_i}{c_1}\right) + 1 = \left( \sum_{i=2}^m \frac{k_i c_i}{c_1}\right) + k_1 + 1 $\\
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or on a $c_1 > c_2 > ... > c_m$ donc
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$\left( \sum_{i=2}^m \frac{k_i c_i}{c_1}\right) + k_1 + 1 \leq \left( \sum_{i=2}^m k_i\right) + k_1 + 1 = M(x) + 1 $\\
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CQFD.
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\subsection{}
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\end{document}
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