\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\title{TD Option Info}
\author{}
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\pdfinfo{%
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  /Creator  ()
  /Producer ()
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  /Keywords ()
}

\begin{document}
\maketitle

    \section{Systèmes de pièces}
        \subsection{}
    \section{}
            Montrons qu'on a $ x \geq M(x) $\\
            $M(x)$ est défini, alors il existe $k \in \mathbb{N}^m$ tel que $x = \sum_{i=1}^m k_i c_i$ avec $\sum_{i=1}^m k_i = M(x)$\\
            On sait que $\forall\text{ } 1\leq i\leq m, c_i >= 1$
            Donc $x = \sum_{i=0}^m k_i c_i \geq \sum_{i=0}^m k_i = M(x)$\\\\
            Montrons qu'on a $\lceil\frac{x}{c_1} \rceil \leq M(x)$\\
            Par définition $\lceil\frac{x}{c_1} \rceil \leq \frac{x}{c_1} + 1$\\
            Montrons qu'on a $\frac{x}{c_1} + 1 \leq M(x)$\\
            $M(x)$ est défini, alors il existe $k \in \mathbb{N}^m$ tel que $x = \sum_{i=1}^m k_i c_i$ avec $\sum_{i=1}^m k_i = M(x)$\\
            Ainsi, $\frac{x}{c_1} + 1 = \left( \sum_{i=1}^m \frac{k_i c_i}{c_1}\right) + 1 = \left( \sum_{i=2}^m \frac{k_i c_i}{c_1}\right) + k_1 + 1 $\\
            or on a $c_1 > c_2 > ... > c_m$ donc
            $\left( \sum_{i=2}^m \frac{k_i c_i}{c_1}\right) + k_1 + 1 \leq \left( \sum_{i=2}^m k_i\right) + k_1 + 1  = M(x) + 1 $\\
            CQFD.
        \subsection{}
            
\end{document}