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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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%\documentclass[a4paper,10pt]{scrartcl}
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\usepackage{mathtools}
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\renewcommand{\thesection}{\Roman{section}}
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\newcommand{\sectioni}[2]{\setcounter{section}{#1}\addtocounter{section}{-1}\section{#2}}
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\title{Questions du TP 3}
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\author{}
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\pdfinfo{%
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/Title (Questions du TP 3)
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/Keywords ()
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}
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\begin{document}
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\maketitle
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\sectioni{3}{Arbres bouc-émissaires}
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\begin{enumerate}
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\setcounter{enumi}{11}
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\item En notant $h$ la hauteur de l'arbre traité, s'il n'y a pas reconstruction, on effectue une opération en $O(1)$ et un appel récursif sur un abre de hauteur $h-1$. Ainsi, en notant $c_h$ la complexité de l'appel insere\_be sur un arbre de hauteur $h$ dans le pire des cas, c'est à dire lorsque l'appel parcourt la branche la plus longue (de longueur $h$), on a : $$\left\{\begin{array}{ll} c_{-1}= O(1) \\ c_h = O(1) + c_{h-1} \end{array}\right.$$ Donc $c_h = O(h)$. Or $h\leq \floor{\log_{\frac{1}{\alpha}}(n)} + 1$ donc $c_h = O(lg(n))$
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$$ $$
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S'il y a reconstruction, dans le pire des cas, cette reconstruction s'effectue sur l'arbre entier en $O(n)$ puis puisque la reconstruction crée un arbre dont tous les noeuds sont équilibrés, il n'y aura donc pas d'autre reconstruction. Ainsi en notant $C_h$ la complexité d'un appel entrainant une reconstruction, on a : $$C_h = O(n) + c_h = O(n) + O(lg(n)) = O(n)$$
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CQFD (ça va, c'est pas si pénible que ça les maths (de ce niveau là en tout cas))
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\end{enumerate}
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\end{document}
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